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線性規(guī)劃(Linear Programming,簡稱LP)是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較為成熟的一個重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。對偶理論(Duality theory)就是研究線性規(guī)劃中原始問題與對偶問題之間關(guān)系的理論。

1. 對偶問題的提出

對偶是對同一問題，從兩種不同角度觀察，有兩種擬似對立的表述。例如“矩形面積與周長的關(guān)系”有如下兩種表述：

周長一定，面積最大的矩形是正方形;

面積一定，周長最短的矩形是正方形。

再比如，生產(chǎn)計劃問題，如圖一所示，某工廠要生產(chǎn)兩種產(chǎn)品I和II，生產(chǎn)原料分別是A和B，且對總的生產(chǎn)設(shè)備臺時也有限制

那么，分別生產(chǎn)多少件產(chǎn)品I和II，才能使生產(chǎn)的利益最大化，很顯然，從賣家的角度，利用線性規(guī)劃，得到的優(yōu)化模型M1：

其中x1和x2分別是計劃生產(chǎn)產(chǎn)品I和II的件數(shù)。換一個角度，從買家的角度，不買產(chǎn)品二是直接買生產(chǎn)原料，從盈利的角度出發(fā)假設(shè)每件生產(chǎn)原料的價格跟別是y1、y2和y3，買家希望購買的成本是最小的，于是有了下面的優(yōu)化模型M2：

以上是兩個說明對偶問題的例子。下面直接給出原問題和對偶問題的對應(yīng)關(guān)系表：

這種對應(yīng)關(guān)系是可以通過拉格朗日對偶推導(dǎo)得到的，這里不作具體介紹，感興趣的同學(xué)可以參考

https://www.zhihu.com/question/58584814。

2. LP標(biāo)準(zhǔn)問題的對偶問題

標(biāo)準(zhǔn)LP問題：

對偶問題：

對原問題與對偶問題解的關(guān)系做一些簡單的推導(dǎo)：

其中xB和xN分別對應(yīng)基變量和非基變量，B和N是基變量和非基變量對應(yīng)的矩陣，cB和cN對應(yīng)代價系數(shù)。由以上的推導(dǎo)可以看出，對偶問題的解與原問題的檢驗數(shù)有對應(yīng)關(guān)系，這個關(guān)系對于理解對偶單純形法非常重要。

3.對偶問題的性質(zhì)

3.1 對稱性

3.2 弱對偶性

弱對偶性表明，只要找到原問題和對偶問題的一個可行解，則能夠確定彼此的上下界。由弱對偶性可以得到兩個重要的推論：

3.3 強對偶性

3.4 最優(yōu)性條件

4. 對偶單純性法

首先從大的概念上，對原始單純形法和對偶單純形法做一下理解：

接下來推導(dǎo)對偶單純形法，實際上對偶單純形法和單純形法主要的區(qū)別就在與進(jìn)基和出基的策略不一樣，下面具體介紹對偶單純形法進(jìn)基和出基策略的推導(dǎo)，需要強調(diào)的是，對偶單純形法推導(dǎo)的前提是初始解滿足對偶可行性(原問題的檢驗數(shù)都大于0)。